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La fórmula de Euler para poliedros es una de esas maravillas que podemos encontrar a lo largo y ancho del mundo de las matemáticas. Esta fórmula dice que para cualquier poliedro convexo su número de caras menos su número de aristas más su número de vértices es igual a 2. Sí, siempre 2.

C + V = A + 2

Dicha fórmula se atribuye a Euler. Euler mencionó su resultado en una carta a Christian Goldbach (de la famosa Conjetura de Goldbach) en 1750. Más tarde publicó dos artículos en los que describió lo que había hecho con más detalle y trató de dar una prueba de su nuevo descubrimiento, pero ¿pudo haber sido Descartes quien la descubrió primero? Sí, pero no. Bueno, no, pero sí…Vamos a verlo. Antes de nada recordemos que un poliedro es convexo cuando todo segmento que une dos puntos del poliedro queda totalmente contenido en el interior del propio poliedro.Por ejemplo, un cubo es un poliedro convexo, pero el sorprendente poliedro de Császár no lo es. Tomemos un poliedro convexo cualquiera y vayamos a un vértice. En él concurrirán una cierta cantidad de aristas, ¿verdad? Pues calculemos los ángulos formados por cada dos aristas consecutivas y sumémoslos. Nos quedará un ángulo menor que 360º, menor que radianes. Al resultado de restar menos esa suma de ángulos concurrentes en un vértice lo llamaremos defecto angular de ese vértice. Por ejemplo, para un vértice cualquiera de un cubo tenemos que los tres ángulos que concurren en él miden 90º

A veces se dice que Descartes (1596-1650) descubrió la fórmula poliédrica de Euler antes que Euler. Aunque Descartes descubrió hechos sobre los poliedros de 3 dimensiones que le habrian permitido deducir la fórmula de Euler, él no realizó este paso extra. Descartes podría haber estado deambulando por un laberínto de teoremas explorando unos y no darle importancia a otras ideas que hoy nos parecen naturales. El Teorema de Descartes es un bonito resultado por sí mismo, y en 3 dimensiones equivale a Fórmula Poliédrica de Euler. Teniendo en cuenta que hoy Euler se le atribuye ser el «padre» de la teoría de grafos por haber resuelto el problema de los Puentes de Königsberg usando ideas de la teoría de grafos, uno podría haber esperado que él viese el grafo asociado con un poliedro. Sin embargo, no parece haber pensado el poliedro como un grafo, un paso no se realizó hasta bastante más tarde por Cauchy (1789-1856).

Aunque Euler no dio la primera demostración correcta de su fórmula, no se pueden probar conjeturas que no la demostrase. Parece que el matemático francés Adrian Marie Legendre (1752-1833) dio la primera demostración, a pesar de que no hizo uso de métodos combinatorios. Irónicamente, Legendre le dio a este teorema quintaesencia de la combinatoria, una demostración métrica. A pesar de utilizar métodos métricos la demostración es muy perspicaz e inteligente.

Fuente … gaussianos

Fuente … ams.org