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Sucesiones aritméticas y geométricas

27 diciembre, 2016 PlanetaPi 1 comentario

Secundaria
13 a 14 años – Matemáticas
SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

$Definici\acute{o}n$
Una PROGRESIÓN ARITMÉTICA es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior un número constante d llamado DIFERENCIA. $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ es el TÉRMINO GENERAL.
La suma de los n priméros términos es
$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Además, la relación entre dos términos es

$a_n = a_k + (n-k) \cdot d$

En una sucesión aritmética, el quinto término es y el noveno . Calcula
1. El término general
2. El término $a_{11}$
3. La suma de los 11 primeros términos
Solución: a) $a_n=1+(n-1)\cdot 5$ i.e. $a_n=5n-4$ b) 51 c) 286
En una sucesión aritmética, el término y el . Calcula
1. El término general
2. El término $a_{21}$
3. La suma de los 21 primeros términos $S_{21}$
  Solución: a) $a_n=1+(n-1)\cdot 4$ i.e. $a_n=4n-3$ b) 81 c) 861
En una sucesión aritmética, el término y el término . Calcula
1. El término general
2. El término $a_{35}$
3. La suma de los 35 primeros
  Solución: a) $a_n=5+(n-1) \cdot 6$ b) 209 c) $S_{35}=3745$
Una rana se encuentra tomando el Sol sobre una piedra de la charca que está a 40 cm de la orilla. Asustada por un trueno, da un salto de 30 cm hasta la piedra siguiente, luego otro de 30cm, … y así sucesivamente hasta que llega a la otra orilla. Si las dos orillas distan 2,80 m ¿Cuántas piedras hay en su camino? Solución: $7$

Categorías:aritmetica, Matematicas Etiquetas: aritmetica, ejercicios resueltos, matemáticas, progresiones, sucesiones

Figuras y fracciones

25 julio, 2014 PlanetaPi Deja un comentario

Ejercicio 1.- Escribe qué proporción representa la zona coloreada en cada una de las siguientes figuras. Simplifica las fracciones.

$figuras planas y fracciones$

Ejercicio 2.- Representa en una figura plana las siguientes fracciones:

a) $\dfrac{1}{3}$ b) $\dfrac{2}{5}$ c) $\dfrac{3}{8}$ d) $\dfrac{1}{4}$ e) $\dfrac{3}{7}$

Nivel: 1º ESO
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Categorías:aritmetica, educación secundaria, ejercicios ESO 1 Etiquetas: aritmetica, Ejercicios, fracciones

Los números enteros. Ejercicios. 2 ESO

22 julio, 2014 PlanetaPi 2 comentarios

NÚMEROS ENTEROS

Nivel: 2º ESO (13 años aprox.)

$Teor\acute{i}a$
Una aplicación práctica de los números enteros es para saber a cuantos metros nos encontramos sobre el suelo o incluso debajo de él. Nuestro escalador subió a la torre de vigilancia he instalo un motor con el que pudo descender a una sima en cuyo interior encontró un gran tesoro, los números enteros.

Escalando sobre números enteros

Ejemplo.- Si el escalador sube 5 metros hasta la plataforma de descenso (+5) y luego se descuelga 3, es decir baja 3 (-3) Se encuentra en la posición +5 – 3 = +2 , luego 2 metros sobre el suelo.

Si además ahora baja otros 4 metros (-4) se encuentra a +2 – 4 = -2 metros, es decir 2 metro bajo el suelo.

El cálculo completo ha sido +5 -3 – 4 = +5 -7 = -2.

Consejo: Opera por un lado los números positivos y por otro los negativos antes de calcular el resultado final.

Ej.: +4-2+3-6+8 = +4 +3 +8 -2 -6 = +15 – 8 = +7

Ejercicio 1.- Opera:

a) $+3 - 5 +2 - 8 +3$
b) $-6 +5 - ( +4-3+6)$
c) $-3 +6 +( 3-5-1)$
d) $+(3-7+1)-(-2+8-1)+2$
e) $+5 +(-3 \cdot 8 -3)$
f) $-3+2 \cdot \left( 8 : 4 +5 \right)$

Ahorrando con tus amigos

Hey! Nobita. El lunes había en la hucha 20 € y luego yo metí 6 € y tu sacaste 8 €. El martes yo saqué 3€ y tú metiste 4€. El jueves yo metí 6€ y tú metiste 2€. El viernes yo saqué 12€ y tú sacaste 14€.
¿Cuánto dinero tenemos hoy sábado para salir a comer pizza?

$Teor\acute{i}a$
Las fechas podemos representarlas por enteros. Así, el año 5 antes de Cristo (a. C) lo podemos representar por un cinco negativo -5. El año 5 después de Cristo (d. C) lo representamos por su inverso positivo +5.Ten en cuenta estos consejos y aplicalo en los siguientes ejercicios:

La máquina del tiempo

Ejercicio 2.- Si tuvieras un DeLorean o una máquina del tiempo como McFly deberías ser capaz de resolver las siguiente preguntas:

Pitágoras de Samos, fue un filósofo y matemático griego que nació el año 569 a. C y muere el 475 a. C
¿Cuántos años vivió?
Platón fue un filósofo griego que nace el año 427 a. C. y vivió 80 años ¿En que año murió?
El emperador romano Cesar Augusto nace el año 63 a. C y vivió 77 años ¿En que año murió?
Séneca fue un escritor cordobés que nació el año 4 a. C y murió el 65 d. C ¿Cuántos años vivió?
Si Cristo hubiera nacido 6 años antes de Cristo (*1), y vivió 33 años ¿En que año murió?

Reflexión: Aveces parecemos estar muy seguros del calendario y no discutimos como se construyó. Tampoco apreciamos a menudo la potencia de un concepto como el número cero.
Escuche, si del año 1 a. C. es decir, el año -1, pasamos al año 1 d. C. es decir, el año +1
¿qué pasó con el año 0? ¿Lo hemos contado? ¿nos hemos comido un año y la fecha de nuestro nacimiento es un año antes? ¿Qué opina?

Soluciones: 2) 347 a. C 3) 14 d. C Notas: *1

Ejercicio 3.- Contesta.

a) ¿Es 12 múltiplo de 5?¿Y de 6?
b) ¿Es 40 múltiplo de 10? ¿Y de 9?
c) ¿Es 6 divisor de 30? ¿Y de 420?
d) ¿Es 10 divisor de 45?¿Y de 450?

Ejercicio 4.- Encuentra los divisores de

a) 30 b) 90
c) 150 d) 25

Ejercicio 5.- Descompón en el máximo número de factores los siguientes números:

a) 20 c) 12
b) 32 d) 36

Ejercicio 6.- Halla el mínimo común múltiplo de

a) $m.c.m(10, 15)$
b) $m.c.m(21, 35)$
c) $m.c.m(24, 36)$
d) $m.c.m(12, 18, 30)$
e) $m.c.m(24, 28, 42)$

Ejercicio 7.- Construimos una torre con ladrillos de 18 cm de altura y otra con ladrillos de 30 cm de altura. ¿A qué altura coinciden las cimas de ambas torres por primera vez?

Ejercicio 8.- Halla el máximo común divisor de

a) $m.c.d(15, 20)$
b) $m.c.d(28, 42)$
c) $m.c.d(90, 126)$
d) $m.c.d.(32, 40, 48)$
e) $m.c.d.(50, 60, 90)$