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Sucesiones aritméticas y geométricas

27 diciembre, 2016 1 comentario

tercero de secundariaSecundaria
13 a 14 años – Matemáticas
SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Definici\acute{o}n
Una PROGRESIÓN ARITMÉTICA es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior un número constante d llamado DIFERENCIA.a_n = a_1 + (n-1) \cdot d     es el TÉRMINO GENERAL.
La suma de los n priméros términos es
S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}
Además, la relación entre dos términos es

a_n = a_k + (n-k) \cdot d

lapiz matemáticas secundaria planetapi

  1. En una sucesión aritmética, el quinto término es a_5 = 21 y el noveno a_9=41. Calcula
    1. El término general
    2. El término a_{11}
    3. La suma de los 11 primeros términos

    Solución: a) a_n=1+(n-1)\cdot 5 i.e. a_n=5n-4 b) 51 c) 286

  2. En una sucesión aritmética, el término a_8 = 29 y el a_{14}=53. Calcula
    1. El término general
    2. El término a_{21}
    3. La suma de los 21 primeros términos S_{21}

      Solución: a) a_n=1+(n-1)\cdot 4 i.e. a_n=4n-3 b) 81 c) 861

  3. En una sucesión aritmética, el término a_6=35 y el término a_{16}=95. Calcula
    1. El término general
    2. El término a_{35}
    3. La suma de los 35 primeros

      Solución: a) a_n=5+(n-1) \cdot 6 b) 209 c) S_{35}=3745

  4. Una rana se encuentra tomando el Sol sobre una piedra de la charca que está a 40 cm de la orilla. Asustada por un trueno, da un salto de 30 cm hasta la piedra siguiente, luego otro de 30cm, … y así sucesivamente hasta que llega a la otra orilla. Si las dos orillas distan 2,80 m ¿Cuántas piedras hay en su camino? Solución: 7rana

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Figuras y fracciones

25 julio, 2014 Deja un comentario

primero de secundariaEjercicio 1.- Escribe qué proporción representa la zona coloreada en cada una de las siguientes figuras. Simplifica las fracciones.

circulo triangulo cuadrado y rectanguloproporcion de zona sombreada de una figura

Ejercicio 2.- Representa en una figura plana las siguientes fracciones:

a) \dfrac{1}{3}     b) \dfrac{2}{5}     c) \dfrac{3}{8}     d) \dfrac{1}{4}     e) \dfrac{3}{7}

Nivel: 1º ESO
Quizás le interese … Problemas de fracciones

Los números enteros. Ejercicios. 2 ESO

22 julio, 2014 2 comentarios

2eso

 NÚMEROS ENTEROS

Nivel: 2º ESO (13 años aprox.)

Teor\acute{i}a
Una aplicación práctica de los números enteros es para saber a cuantos metros nos encontramos sobre el suelo o incluso debajo de él. Nuestro escalador subió a la torre de vigilancia he instalo un motor con el que pudo descender a una sima en cuyo interior encontró un gran tesoro, los números enteros.


Escalador de números enteros

Escalando sobre números enteros

Ejemplo.- Si el escalador sube 5 metros hasta la plataforma de descenso (+5) y luego se descuelga 3, es decir baja 3 (-3) Se encuentra en la posición +5 – 3 = +2 , luego 2 metros sobre el suelo.

Si además ahora baja otros 4 metros (-4) se encuentra a +2 – 4 = -2 metros, es decir 2 metro bajo el suelo.

El cálculo completo ha sido +5 -3 – 4 = +5 -7 = -2.

Consejo: Opera por un lado los números positivos y por otro los negativos antes de calcular el resultado final.

Ej.: +4-2+3-6+8 = +4 +3 +8 -2 -6 = +15 – 8 = +7

Ejercicio 1.- Opera:

a) +3 - 5 +2 - 8 +3
b) -6 +5 - ( +4-3+6)
c) -3 +6 +( 3-5-1)
d) +(3-7+1)-(-2+8-1)+2
e) +5 +(-3 \cdot 8 -3)
f) -3+2 \cdot \left( 8 : 4 +5 \right)

nobita doraemon cerdito números enterosAhorrando con tus amigos

Hey! Nobita. El lunes había en la hucha 20 € y luego yo metí 6 € y tu sacaste 8 €. El martes yo saqué 3€ y tú metiste 4€. El jueves yo metí 6€ y tú metiste 2€. El viernes yo saqué 12€ y tú sacaste 14€.
¿Cuánto dinero tenemos hoy sábado para salir a comer pizza?

 

Teor\acute{i}a
Las fechas podemos representarlas por enteros. Así, el año 5 antes de Cristo (a. C) lo podemos representar por un cinco negativo -5. El año 5 después de Cristo (d. C) lo representamos por su inverso positivo +5.Ten en cuenta estos consejos y aplicalo en los siguientes ejercicios:


La máquina del tiempo

Ejercicio 2.- Si tuvieras un DeLorean o una máquina del tiempo como McFly deberías ser capaz de resolver las siguiente preguntas:

  1. Pitágoras de Samos, fue un filósofo y matemático griego que nació el año 569 a. C y muere el 475 a. C
    ¿Cuántos años vivió?
  2. Platón fue un filósofo griego que nace el año 427 a. C. y vivió 80 años ¿En que año murió?
  3. El emperador romano Cesar Augusto nace el año 63 a. C y vivió 77 años ¿En que año murió?
  4. Séneca fue un escritor cordobés que nació el año 4 a. C y murió el 65 d. C ¿Cuántos años vivió?
  5. Si Cristo hubiera nacido 6 años antes de Cristo (*1), y vivió 33 años ¿En que año murió?

back to the futureReflexión: Aveces parecemos estar muy seguros del calendario y no discutimos como se construyó. Tampoco apreciamos a menudo la potencia de un concepto como el número cero.
Escuche, si del año 1 a. C. es decir, el año -1, pasamos al año 1 d. C. es decir, el año +1
¿qué pasó con el año 0? ¿Lo hemos contado? ¿nos hemos comido un año y la fecha de nuestro nacimiento es un año antes? ¿Qué opina?

Soluciones: 2) 347 a. C 3) 14 d. C     Notas: *1

Ejercicio 3.- Contesta.

a) ¿Es 12 múltiplo de 5?¿Y de 6?
b) ¿Es 40 múltiplo de 10? ¿Y de 9?
c) ¿Es 6 divisor de 30? ¿Y de 420?
d) ¿Es 10 divisor de 45?¿Y de 450?

Ejercicio 4.- Encuentra los divisores de

a) 30                                         b) 90
c) 150                                        d) 25

Ejercicio 5.- Descompón en el máximo número de factores los siguientes números:

a) 20                                        c) 12
b) 32                                        d) 36

Ejercicio 6.- Halla el mínimo común múltiplo de

a) m.c.m(10, 15)
b) m.c.m(21, 35)
c) m.c.m(24, 36)
d) m.c.m(12, 18, 30)
e) m.c.m(24, 28, 42)

Ejercicio 7.- Construimos una torre con ladrillos de 18 cm de altura y otra con ladrillos de 30 cm de altura. ¿A qué altura coinciden las cimas de ambas torres por primera vez?

Ejercicio 8.- Halla el máximo común divisor de

a) m.c.d(15, 20)
b) m.c.d(28, 42)
c) m.c.d(90, 126)
d) m.c.d.(32, 40, 48)
e) m.c.d.(50, 60, 90)

Ejercicio 9.- Calcula:

a) (-3)^2 b) -3^2 c) 121^0 d) 2^5
e) (-2)^4 f) (-2)^7 g) (-10)^5 h) (-10)^6

lapiz matemáticas secundaria planetapi

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