eso3priv-proporcionalidad

RAZONES Y PROPORCIONES

Definición:     La razón de dos números a y b , es la fracción \dfrac{a}{b}

.

Definición:     Se llama proporción a la expresión aritmética formada por la igualdad de dos razones.

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} y leemos «a» es a «b» como «c» es a «d».

Cálculo del término desconocido de una proporción.

Ejemplos resueltos:

a) \dfrac{16}{40}=\dfrac{2}{x} \Rightarrow x=\dfrac{40 \cdot 2}{16}=5

b) \dfrac{x}{40}=\dfrac{2}{5} \Rightarrow x=\dfrac{40 \cdot 2}{5}=16

     PROPORCIONALIDAD SIMPLE

📌 – Proporcionalidad directa: 

Dos magnitudes
son directamente proporcionales cuando:

     – Al multiplicar una (doble, triple, …), la otra se multiplica de la misma
manera (doble, triple, …).
     – Al dividir una (mitad, tercio, …), la otra se divide de la misma
manera (mitad, tercio, …).

     Ejemplos resueltos:
mazeta       Por una compra de 6 kg de naranjas, Rocío ha pagado 5,10 €. ¿Cuánto parará Luis, que ha comprado 8 kg de ese mismo tipo de naranjas?

Solución:

A más naranjas, más dinero cuestan. Luego Proporcionalidad Directa.
Aplicamos la Regla de Tres (directa):

proporcionalidadDirecta

entonces x=\dfrac{8 \cdot 5,10}{6}=6,80 euros cuestan los 8 kg.

📌 – Proporcionalidad inversa: 

Dos magnitudes
son inversamente proporcionales cuando:

     – Al multiplicar una (doble, triple, …), se divide
la otra (mitad, tercio, …).
     – Al dividir una (mitad, tercio, …), se multiplica
la otra (doble, triple, …).

     Ejemplos resueltos

Seis pintores tardan 8 horas en pintar una pared. ¿Cuánto tardarían 4 pintores en pintar otra pared igual. 

     Solución:

A menos pintores, más tiempo necesitan. Luego Proporcionalidad Inversa.
Aplicamos la Regla de Tres (inversa):

proporcionalidadInversa

entonces x=\dfrac{6 \cdot 8}{4}=12 horas.

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Cuando intervienen más de dos magnitudes, debemos:

  • Identificar la magnitud que lleva la incógnita.
  • Detectar la relación de proporcionalidad (directa o inversa) de las magnitudes con la magnitud que lleva la incógnita.

📌 a) Proporcionalidad directa-directa: 

Un hotel cobra a 4 personas por 5 días de alojamiento 1200 euros.
¿Cuánto cobrará a 6 personas por 10 días de alojamiento?

Solución:
regla3compuestaDD
\Rightarrow \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{5}{10} = \dfrac{1200}{x}

\dfrac{20}{60}=\dfrac{1200}{x}

20 \cdot x =1200 \cdot 60

\Rightarrow x=\dfrac{72000}{20} = 3600 €

📌 b) Proporcionalidad directa-inversa: 

SILUETA_METALICA_PEREGRINA_2_mlUn peregrino, caminando 10 horas diarias durante 24 días, recorre 720 km.
¿Cuántos días necesitará para recorrer 432 km, caminando 8 horas diarias?

Solución:

regla3compuestaDI

En la inversa cambiamos 10 por 8.
\Rightarrow \dfrac{720}{432} \cdot \dfrac{8}{10} = \dfrac{24}{x}

\dfrac{5760}{4320}=\dfrac{24}{x}

5760 \cdot x =4320 \cdot 24

\Rightarrow x=\dfrac{103680}{5760} = 18 días

📌 c) Proporcionalidad inversa-inversa: 

excavadoraDos excavadoras, trabajando 10 horas diarias, hacen un trabajo en 9 días.
¿Cuánto tardarían en hacer ese trabajo 3 excavadoras trabajando 12 horas cada día?

Solución:

regla3compuestaII

En la inversa cambiamos 2 por 3 y también 10 por 12.
\Rightarrow \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{12}{10} = \dfrac{9}{x}

\dfrac{36}{20}=\dfrac{9}{x}

36\cdot x =20\cdot 9

\Rightarrow x=\dfrac{180}{36} = 5 días

EJEMPLO:
Una camisa cuesta en enero 60 € y suben su precio en febrero un 15%.
¿Cuánto cuesta en febrero?

 

SOLUCIÓN: 

 Método 1:  Nos suben de precio 60 \cdot \dfrac{15}{100} = 60 \cdot 0,15 = 9 Eur.

Luego en febrero cuesta 60 + 9 = 69 Eur.

 Método 2:  a = 15, luego multiplicamos por \left( 1 + \dfrac{a}{100} \right) pues es AUMENTO, es decir:

\left( 1 + \dfrac{15}{100} \right) = 1+0,15 = 1,15 .

Así en febrero cuesta 60 \cdot 1,15 = 69 Eur.

Operando de manera similar al ejemplo anterior, responde:

Ejercicio: En un comercio de alimentos deciden aumentar el precio de las bebidas un 15% y el de la comida un 20%. Sabiendo esto completa la tabla:

precio
antiguo (€) 
precio
nuevo (€) 
zumo 1
refresco 1,20 1,20 \cdot 1,15= 1,38
pan 0,90
pizza 1,35
puleva 1,05
manzanas 1,15
leche ? 2,30

.

EJEMPLO:
Un teléfono móvil cuesta en verano 150 € y rebajan su precio en invierno un 30%.
¿Cuánto cuesta en febrero?

SOLUCIÓN: 

a% = 30% luego \left( 1 - \dfrac{30}{100} \right) = 1-0,30 = 0,70
En febrero pagamos
150 \cdot 0,70 =

105 €

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