eso3priv-proporcionalidad

RAZONES Y PROPORCIONES

Definición: La razón de dos números $a$ y $b$ , es la fracción $\dfrac{a}{b}$

Definición: Se llama proporción a la expresión aritmética formada por la igualdad de dos razones.

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ y leemos «a» es a «b» como «c» es a «d».

Cálculo del término desconocido de una proporción.

Ejemplos resueltos:

a) $\dfrac{16}{40}=\dfrac{2}{x} \Rightarrow x=\dfrac{40 \cdot 2}{16}=5$

b) $\dfrac{x}{40}=\dfrac{2}{5} \Rightarrow x=\dfrac{40 \cdot 2}{5}=16$

PROPORCIONALIDAD SIMPLE

📌 – Proporcionalidad directa:

Dos magnitudes
son directamente proporcionales cuando:

– Al multiplicar una (doble, triple, …), la otra se multiplica de la misma
manera (doble, triple, …).
– Al dividir una (mitad, tercio, …), la otra se divide de la misma
manera (mitad, tercio, …).

Ejemplos resueltos:
Por una compra de 6 kg de naranjas, Rocío ha pagado 5,10 €. ¿Cuánto parará Luis, que ha comprado 8 kg de ese mismo tipo de naranjas?

Solución:
A más naranjas, más dinero cuestan. Luego Proporcionalidad Directa.
Aplicamos la Regla de Tres (directa):

proporcionalidadDirecta

entonces $x=\dfrac{8 \cdot 5,10}{6}=6,80$ euros cuestan los 8 kg.

📌 – Proporcionalidad inversa:

Dos magnitudes
son inversamente proporcionales cuando:

– Al multiplicar una (doble, triple, …), se divide
la otra (mitad, tercio, …).
– Al dividir una (mitad, tercio, …), se multiplica
la otra (doble, triple, …).

Ejemplos resueltos

Seis pintores tardan 8 horas en pintar una pared. ¿Cuánto tardarían 4 pintores en pintar otra pared igual.

Solución:
A menos pintores, más tiempo necesitan. Luego Proporcionalidad Inversa.
Aplicamos la Regla de Tres (inversa):

proporcionalidadInversa

entonces $x=\dfrac{6 \cdot 8}{4}=12$ horas.

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Cuando intervienen más de dos magnitudes, debemos:

Identificar la magnitud que lleva la incógnita.
Detectar la relación de proporcionalidad (directa o inversa) de las magnitudes con la magnitud que lleva la incógnita.

📌 a) Proporcionalidad directa-directa:

Un hotel cobra a 4 personas por 5 días de alojamiento 1200 euros.
¿Cuánto cobrará a 6 personas por 10 días de alojamiento?

Solución:
regla3compuestaDD
$\Rightarrow \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{5}{10} = \dfrac{1200}{x}$

$\dfrac{20}{60}=\dfrac{1200}{x}$

$20 \cdot x =1200 \cdot 60$

$\Rightarrow x=\dfrac{72000}{20} =$ 3600 €

📌 b) Proporcionalidad directa-inversa:

Un peregrino, caminando 10 horas diarias durante 24 días, recorre 720 km.
¿Cuántos días necesitará para recorrer 432 km, caminando 8 horas diarias?

Solución:

regla3compuestaDI

En la inversa cambiamos 10 por 8.
$\Rightarrow \dfrac{720}{432} \cdot \dfrac{8}{10} = \dfrac{24}{x}$

$\dfrac{5760}{4320}=\dfrac{24}{x}$

$5760 \cdot x =4320 \cdot 24$

$\Rightarrow x=\dfrac{103680}{5760} =$ 18 días

📌 c) Proporcionalidad inversa-inversa:

Dos excavadoras, trabajando 10 horas diarias, hacen un trabajo en 9 días.
¿Cuánto tardarían en hacer ese trabajo 3 excavadoras trabajando 12 horas cada día?

Solución:

regla3compuestaII

En la inversa cambiamos 2 por 3 y también 10 por 12.
$\Rightarrow \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{12}{10} = \dfrac{9}{x}$

$\dfrac{36}{20}=\dfrac{9}{x}$

$36\cdot x =20\cdot 9$

$\Rightarrow x=\dfrac{180}{36} =$ 5 días

EJEMPLO:
Una camisa cuesta en enero 60 € y suben su precio en febrero un 15%.
¿Cuánto cuesta en febrero?

SOLUCIÓN:

Método 1: Nos suben de precio $60 \cdot \dfrac{15}{100} = 60 \cdot 0,15 = 9$ Eur.

Luego en febrero cuesta $60 + 9 = 69$ Eur.

Método 2: a = 15, luego multiplicamos por $\left( 1 + \dfrac{a}{100} \right)$ pues es AUMENTO, es decir:

$\left( 1 + \dfrac{15}{100} \right) = 1+0,15 = 1,15$ .

Así en febrero cuesta $60 \cdot 1,15 = 69$ Eur.

Operando de manera similar al ejemplo anterior, responde:

Ejercicio: En un comercio de alimentos deciden aumentar el precio de las bebidas un 15% y el de la comida un 20%. Sabiendo esto completa la tabla:

	precio antiguo (€)	precio nuevo (€)
zumo	1
refresco	1,20	$1,20 \cdot 1,15= 1,38$
pan	0,90
pizza	1,35
puleva	1,05
manzanas	1,15
leche	?	2,30