Secundaria, 3 ESO, numeros racionales

NUMEROS RACIONALES 3º ESO

1.- Di de que tipo son los siguientes números y obtén la fracción generatriz (utilizando el algoritmo de la fracción generatriz):

a) 5,24 b) $3, \widehat{7}$ c) $0,2 \widehat{35}$

Sol:

a) Decimal exacto.

$N=5,24 \Rightarrow 100 \cdot N=524 \Rightarrow N= \dfrac{524}{100}$

b) Decimal periódico puro.

$N=3,777 ...$

$10 N=37,777...$

Restando, $10N-N=37-3 \Rightarrow 9N=34 \Rightarrow N= \dfrac{34}{9}$

c) Decimal periódico mixto

$N=0,2353535... \Rightarrow 10N=2,353535 ... \Rightarrow 1000N=235,353535 ...$

Restando las dos últimas expresiones, $1000N-10N=235-2 \Rightarrow 990N=233 \Rightarrow N= \dfrac{233}{990}$

2.- Efectúa las siguientes operaciones, desarrolla y simplifica los resultados.

a) $9- \dfrac{1}{4} \cdot \left( \dfrac{7}{3}+\dfrac{2}{5} \right)$ $=9- \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{35+6}{15} = 9- \dfrac{41}{60} = \dfrac{499}{60}$

b) $\left( 9- \dfrac{1}{4} \right) \cdot \dfrac{7}{3} + \dfrac{2}{5}$ $= \dfrac{36-1}{4} \cdot \dfrac{7}{3} + \dfrac{2}{5}$ $= \dfrac{35}{4} \cdot \dfrac{7}{3} + \dfrac{2}{5}$ $= \dfrac{245}{12} + \dfrac{2}{5}$ $= \dfrac{1225}{60} + \dfrac{24}{60}$ $= \dfrac{1249}{60}$

c) $\dfrac{2}{3} : \dfrac{3}{4}- \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{7}$ $= \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} - \dfrac{1 \cdot 3}{5 \cdot 7}$ $= \dfrac{8}{9}- \dfrac{3}{35}$ $= \dfrac{280}{315}-\dfrac{27}{315}$ $= \dfrac{253}{315}$

d) $\dfrac{\dfrac{8}{3} : \dfrac{5}{9}}{\dfrac{6}{5} - \dfrac{1}{3}}$ $= \dfrac{\dfrac{8 \cdot 9}{15}}{\dfrac{18-5}{15}}$ $= \dfrac{72}{13}$

3.- Ordena de mayor a menor de manera razonada: $\dfrac{7}{4} , \dfrac{9}{8} , \dfrac{5}{12} , \dfrac{11}{18}$

Sol: Calculamos el $m.c.m$ de los denominadores y reducimos a común denominador, así

$\dfrac{7}{4} = \dfrac{126}{72} , \dfrac{9}{8} = \dfrac{81}{72} , \dfrac{5}{12} = \dfrac{30}{72} , \dfrac{11}{18} = \dfrac{44}{72}$

luego

$\dfrac{126}{72} > \dfrac{81}{72} > \dfrac{44}{72} > \dfrac{30}{72}$

es decir

$\dfrac{7}{4} > \dfrac{9}{8} > \dfrac{11}{18} > \dfrac{5}{12}$

4.- Tenemos una pieza de alambre de 90 m. Vendemos las 2/3 partes a 3 €/m, 1/6 del resto a 4 €/m y los metros que quedan a 2 €/m. ¿Cuánto hemos ganado si habíamos comprado el metro de alambre a 2 €?

Sol: $\dfrac{2}{3} \ de\ 90 m = \dfrac{2 \cdot 90}{3} m = 60 m$ y gano $60 m \cdot 3$ €/m $= 180$ €. Quedan 30 m.

$\dfrac{1}{6} \ de\ 30 m = 5 m$ y gano $5 m \cdot 4$ €/m $=20$ €. Quedan 90 m – 60 m – 5 m = 25 m , y gano $25 m \cdot 2$ €/m $= 50$ €.

Lo vendo por $180+20+50=250$ €, lo compré por $90 m \cdot 2$ €/m $= 180$ €, luego gano $250 - 180 = 70$ €

5.- Unos amigos organizan una excursión a la montaña: el primer día recorren un cuarto de lo programado, el segundo día un tercio, dejando el resto (que son 25 km) para el tercer día. ¿Qué fracción representan los kilómetros recorridos el tercer día? ¿Cuántos kilómetros han recorrido en total?

Sol: $1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{12}$ representa 25 km recorridos el tercer día.

REDUCCIÓN A LA UNIDAD

$\dfrac{5}{12}$ representa 25 km (dividiendo por 5)

$\dfrac{1}{12}$ representa 5 km (multiplicando por 12)

$\dfrac{12}{12}$ representa 60 km, i.e. todo el camino.

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