eso3-radicales

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RAÍCES EXACTAS:

Raíces cuadradas: Como sabes, \sqrt{25}=5 porque 5^2=25

Analogamente \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} porque \left( \dfrac{5}{2} \right) ^2 = \dfrac{5^2}{2^2} = \dfrac{25}{4}

Raíces cúbicas: Las raíces cúbicas se comportan de forma similar a las raíces cuadradas:

a) \sqrt[3]{8} = 2 porque 2^3=8

b) \sqrt[3]{\dfrac{8}{1000}}= \dfrac{2}{10} porque \left( \dfrac{2}{10} \right) ^3 = \dfrac{2^3}{10^3} = \dfrac{8}{1000}

Otras raíces: Del mismo modo, interpretamos raíces de índice superior a 3:

Puesto que 2^5 = 32 , \sqrt[5]{32} = 2

También \sqrt[4]{10 000}=10 porque 10^4=10 000

En general: a=b^n si y sólo si \sqrt[n]{a} , donde n se llama índice de la raíz

En general: a=b^n si y sólo si \sqrt[n]{a} , donde n se llama índice de la raíz

Nota: Observese que 3^2 = 9, (-3)^2 =9. Por tanto 9 tiene dos raíces cuadradas 3 y -3. Pero ¿atención!, aveces abusamos del lenguaje y sólo escribimos la raíz positiva, i.e. \sqrt{9}=3

Ejemplos: Calcular las siguientes raíces:

a) \sqrt{49}{16} b) \sqrt{4356} c) \sqrt[3]{\dfrac{1000}{64}} d) \sqrt[5]{\dfrac{1}{243}}

Solución:
a) \left( \dfrac{7}{4} \right) ^2 = \dfrac{7^2}{4^2} = \dfrac{49}{16} Por tanto, \sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{7}{4}

b) Factorizando 4356 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 , es decir, 4356 = (2 \cdot 3 \cdot 11)^2 = 66^2. Por tanto, \sqrt{4356}=66

c) 1000 = 10^3, 64=4^3. Luego \sqrt[3]{\dfrac{1000}{64}}= \dfrac{10}{4}

d) 243 = 3^5 . Por tanto, \sqrt[5]{\sqrt{1}{243}} = \dfrac{1}{3}

Sol: 2, 6, 120, 1/2, 4/6 = 2/3, 15/10 = 3/2

RADICALES:

Cuando nos encontramos con expresiones como \sqrt{2500} , \sqrt[3]{0,008} o bien \sqrt{12} nos gustaría que fuesen más sencillas, es decir, suprimir la raíz obteniendo la expresión entera o decimal correspondiente. Cuando la raíz es exacta,esto es lo más razonable. Es lo que hacemos con las dos primeras \sqrt{2500} =50, \sqrt[3]{0,008}=0,2. Sin embargo, \sqrt{12} no podemos escribirla con todos sus decimales, no es racional. La única forma de expresarla de forma exacta es dejarla como está, como una raíz cuadrada.

Recuerda que 2500=50^2 ; además 0,008= \dfrac{8}{1000}= \dfrac{2^3}{10^3}= \left( \dfrac{2}{10} \right) ^3 = 0,2^3

Las expresiones en las que aparecen raíces indicadas se llaman radicales.

ALGUNAS REGLAS PARA EL MANEJO DE RADICALES

SUMA: Radicales con el mismo radicando y el mismo índice pueden sumarse así:

a) 3 \sqrt{2}-\sqrt{2}+5 \sqrt{2}=7 \sqrt{2}

b) \sqrt{5} - \dfrac{2}{3} \sqrt{5} = \left( 1- \dfrac{2}{3} \right) \sqrt{5} = \dfrac{1}{3} \sqrt{5}

La suma de radicales de distintos radicandos o distintos índices ha de dejarse indicada, pues no se puede simplificar.

\sqrt{5} + \sqrt{3} y \sqrt{5}+\sqrt[3]{5} no se pueden simplificar.

PRODUCTO: Radicales con el mismo índice pueden multiplicarse del siguiente modo:

\sqrt{5} \cdot \sqrt{4} = \sqrt{5 \cdot 4} = \sqrt{20}

Radicales con distintos índices no se pueden multiplicar si no se transforman previamente los dos radicales.

\sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{5} no se pueden multiplicar si no se transforman previamente los dos radicales.

POTENCIA: La potencia de un radical se pude simplificar si el índice de la potencia es múltiplo del índice de la raíz.

a) \left( \sqrt[3]{7} \right) ^6 = \left( \sqrt[3]{7} \right) ^{3 \cdot 2} = 7^2

b) \left( \sqrt[3]{7} \right) ^5 no se puede simplificar

Ejercicios:

1.- Calcula las siguientes raíces:

a) \sqrt[6]{64}

b) \sqrt[3]{216}

c) \sqrt{14 400}

d) \sqrt[6]{\dfrac{1}{64}}

e) \sqrt[3]{\dfrac{64}{216}}

f) \sqrt[3]{\dfrac{3375}{1000}}

1.- Simplifica:

a) 4 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - \sqrt{5}

b) \sqrt[3]{4} - 5 \sqrt[3]{4} + 7 \sqrt[3]{4}

c) \sqrt{5} \cdot \sqrt{20}

d) \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{10}

e) \sqrt[3]{8}

f) \sqrt{4^3}

2.- Simplifica las expresiones que puedas y en las restantes indica por qué no se pueden simplificar:

a) 8 \sqrt{5} - 6 \sqrt{3}

b) 3 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5}

c) \sqrt[3]{25} - \sqrt{8}

d) \sqrt{5} \cdot \sqrt[3]{5}

e) \sqrt{6} \sqrt{7}

3.- Calcula.

a) \sqrt[4]{16}

b) \sqrt{16}{25}

c) \sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}

d) \sqrt[5]{-1}

e) \sqrt[3]{216}

f) \sqrt[7]{-128}

g) \sqrt[5]{-243}

h) \sqrt[6]{4096}

Sol: 2, 4/5, 1/2, -1, 6, -2, -3, 4

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