Historia de los Números Primos

¿Qué es un número primo?

Definición.- Un número primo es aquél que sólo es divisible por el mismo y por la unidad.

numeros primos prime numbers

¿Cuándo descubrimos los números primos?

Ishango hueso boneNo está claro cuando los seres humanos reflexionaron por primera vez sobre los misterios de los números primos. El Hueso de Ishango sugiere que los humanos pensaban sobre los números primos ya hace mucho tiempo, aproximadamente hace veinte mil años, ya que incluye una cuaterna de primos (11, 13, 17, 19). Aunque podría ser sólo una coincidencia ya que esto también ocurre al hacer una partición de 60 en números impares.

papiro de rhindLa evidencia es más convincente con los antiguos egipcios, con su fuerte énfasis en fracciones de la unidad (o fracciones egipcias). El Papiro Matemático de Rhynd, que data de hace cuatro mil años, se ocupaba de la expresión  \dfrac{2}{n} (con n un entero impar en el intervalo 4<n<102[ <span="" class="hiddenSpellError" pre="span " data-mce-bogus="1">class="hiddenSpellError" pre="" data-mce-bogus="1">latex]) como una suma de fracciones de la unidad. Cuando <em>n</em> es primo, extensiones de la fracción unidad son considerablemente más difíciles de alcanzar cuando <em>n</em> es primo.</p> <p>Sim embargo, los<strong> antiguos griegos</strong> de hace 2500 años, a menudo reciben el credito de ser los primeros en estudiar los números primos por su propio bien. Los matemáticos de la escuela de Pitágoras, entre ellos mujeres (500 a. C - 300 a. C) se interesaron en los números por sus propiedades místicas y numerológicas. Entendieron la idea de primo y estaban interesados en los números perfectos y amigos.</p> <p>Un <strong>número perfecto</strong> es aquel que es suma de sus propios divisores. Por ejemplo, el número 6 tiene por divisores 1, 2, y 3, además 1 + 2 +3 = 6. El número 28 tiene por divisores 1, 2, 4, 7 y 14, además 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.</p> <p>Un par de <strong>números amigos</strong> es un par como 220 y 284 tal que los divisores propios de uno suman el otro número y viceversa.</p> <h2><span style="color:#ff6600;">¿Cómo hallar un número primo? ¿Cúantos hay?</span></h2> <p>A Eratóstenes se le ocurrió la Criba de <strong><a title="Eratóstenes" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes" target="_blank">Eratóstenes</a>, un algoritmo para calcular números primos (200 a. C)</strong>, y <a title="Euclides" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides" target="_blank"><strong>Euclides</strong> </a>demostró muchos hechos importantes básicos acerca de números primos, que hoy damos por sentado, como que hay infinitos números primos. Euclides también demostró la relación entre los números primos de Mersenne y los números perfectos pares. Estos resultados en su obra los Elementos de Euclides que apareció en el 300 a. C. En el libro IX de los Elementos, Euclides demuestra que hay infinitos números primos, con una de las primeras demostraciones conocidas que utiliza el método de contradicción o reducción al absurdo. Euclides también da una prueba del Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo entero puede escribirse como un producto de números primos de una manera esencialmente única.</p> <p><strong>Euclides</strong> también demostró que si el número [latex]2^n-1 es primo, entonces el número 2^{n-1} (2^n - 1) es un número perfecto. El matemático Euler (mucho más tarde, en 1747) fue capaz de demostrar que todos los números perfectos pares son de esta forma. No se sabe a este día si existen números perfectos impares.

¿Qué otros resultados sabemos de ellos?

Con la conquista romana de los griegos, gran parte del conocimiento griego escrito fue traducido al latín, o al menos se conservó. Como los griegos, los romanos enseñaron lo que sabían, preservaron el conocimiento griego, pero no avanzaron mucho más en el estudio de las matemáticas puras, tales como los números primos.

Thabit ibn QurraLos matemáticos árabes de la Edad Media, estudiaron la obra de los antiguos matemáticos griegos pero con la ventaja añadida de un sistema numérico más susceptible del cálculo. Thabit ibn Qurra, por ejemplo, demostró la relación entre los números primos consecutivos Thabit y los pares amigos.

Pierre de FermatPierre de Fermat enunció un importante teorema (ahora conocido como el pequeño teorema de Fermat, llamado así para distinguirlo de su llamado Último Teorema) en el siglo XVII (fue una especulación de Albert Girard) que establece que dado un primo p y una base b primos entre sí, la congruencia b^{(p-1)}equiv 1 bmod{p} es cierta. Fermat también conjeturó erróneamente en una carta que envio a Marin Mersenne, que 2^{2^n}+1 es siempre primo (los primos de Fermat), mientras que Marin Mersenne correctamente conjeturó que en el 2^p-1 los números primos 67 y 257 dan números primos de Mersenne. Sin embargo, estas cifras fueron nombradas despues de ellos aún.

El pequeño teorema de Fermat prueba la mitad de lo que se ha denominado la Hipótesis China que data de alrededor de 2000 años antes de que un entero n es primo si y sólo si el número 2n - 2 es divisible por n. La otra mitad de esto es falso, ya que, por ejemplo, 2341 - 2 es divisible por 341, aunque 341 = 31 × 11 es compuesto.

100 años más tarde, Euler mostro que el caso siguiente a los conjeturados por Fermat 2^{32}+1=4294967297 es divisible por 641, de manera que no es primo.

Esto indica que si p es un número primo entonces para cualquier entero a que tenemos una p = p un módulo.
Esto prueba la mitad de lo que se ha denominado la hipótesis china que data de alrededor de 2000 años antes de que un entero n es primo si y sólo si el número 2n - 2 es divisible por n. La otra mitad de esto es falso, ya que, por ejemplo, 2341 - 2 es divisible por 341, aunque 341 = 31 × 11 es compuesto.

Fermat ideó un nuevo método de factorización de numeros muy grandes que utilizo para factorizar 2027651281 = 44021 x 46061.

¿Cómo surge su definición?

EulerEn ese momento, la definición más común de número primo era "un número que es divisible por 1 y sí mismo". 1 se ajusta a esta definición, pero algunos matemáticos estaban preocupados por las formas en que uno es diferente de los otros números primos. Euler, por ejemplo, fue motivado por el hecho de que \sigma(p)=p+1 para el primo p, pero no para p = 1 para no considerar al 1 como primo. Otros no se preocupaban tanto por las propiedades del 1 como por las del 2, tal como Moritz Stern, que no tuvo en cuenta 3 como primo de Stern porque el consideraba al 1 primo.

Actualmente, los números primos se contraponen a los compuestos, aquellos que tienen algún divisor natural aparte de ellos mismos y del 1 (el único que no se considera ni primo ni compuesto).

RiemannDespués de varios intentos para obtener una expresión de una función que cuente números primos, el Teorema de los Números Primos fue demostrado en el siglo XIX. La famosa Hipótesis de Riemann fue planteada y hasta hoy permanece sin demostrar a pesar de las muchas evidencias que la apoyan.
En el siglo XX, los ordenadores tomaron gradualmente importancia en el cálculo de datos teóricos que se querían estudiar; se han encontrado desde el decimo tercer primo de Mersenne a primos mucho más grandes, a partir de mitad del siglo ayudados por los ordenadores y computadoras. La invención de la criptografía a finales de 1970 y las necesidades de la población, ha precipitado la búsqueda de grandes números primos y motivado muchos avances en los algoritmos de factorización de enteros. Desde la década de 1990, se ha publicado que utilizando técnicas de computación como La búsqueda por internet del Gran Primo de Mersenne y Seventeen o Bust han decubierto algunos de los mayores números primos conocidos.

Legendre y Gauss ambos hicieron extensos cálculos de la densidad de los primos. Gauss (que fue un calculador prodigioso) le dijo a un amigo que siempre que tenía rato de 15 minutos se lo gastarían en contar los números primos en un 'Chiliad' (un rango de 1000 números). Al final de su vida se estima que había contado todos los números primos hasta aproximadamente 3 millones.

¿Cuál es el número primo más grande conocido?

A través del proyecto masivo de computación Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), un esfuerzo donde colaboran voluntarios de todo el mundo, el 25 de enero de 2013 se halló el número primo con más dígitos del mundo. Curtis Missouri, profesor de la Universidad de Missouri, dio con la cifra mágica, el 48º primo de Mersenne (clic), el número primo de Mersenne de 17 millones de dígitos (17.425.170).

La cifra, 2^{57885161}-1, es decir, 2 elevado a 57,885,161 -1, tiene 17 millones de dígitos, un logro que según la comunidad servirá en el futuro para el desarrollo en la mejora de códigos de seguridad y criptografía de mensajes.

Existen unos números primos más raros, los de Mersenne, apodados así por el monje francés Marin Mersenne, el primero en detallar su fórmula hace 350 años definida por la ecuación N=2^n-1 En este caso, con n número primo. No todos los números de Mersenne son primos. Una rareza difícil de hallar de la que tan sólo se conocen 48.

La importancia de los primos de Mersenne radica en la dificultad que entraña su proceso, un reto mental para los matemáticos que ha supuesto avances en materia de criptografía. Con la obtención del número primo más grande de la historia, aquel que tiene más dígitos en el mundo, Cooper desbanca el anterior récord que databa del 2008 en la Universidad de Los Ángeles con un número de 12.978.189 dígitos.

Un nuevo récord con el que el matemático (ya van tres en su historial) se embolsará 3.000 dólares. El proyecto GIMPS, iniciado en 1996, ha logrado hasta ahora 14 de los números primos de Mersenne más grandes. Un proyecto en el que aquellos que quieran participar deberán descargarse un programa gratuito y comenzar la búsqueda. Aquel que consiga un número primo con mil millones de dígitos se embolsará 250.000 euros.

Documental "La música de los números primos"


Bibliografía:

1. Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, London: Penguin Group. (1986): 20
2. Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Penguin Group. (2004)

Enlaces Externos:
1. http://planetmath.org/HistoryOfPrimeNumbers.html
2. PrimeFan, Arguments for and against the primality of 1

3. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Prime_numbers.html
4. http://www.mersenne.org/
5. http://elpais.com/elpais/2015/01/08/ciencia/1420730792_418230.html

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